Esprit de développement durable

D'après bac S ,Liban, 2019.

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il choisit des bouteilles en verre incassable et demande à ce que, chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

• à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est \(0{,}9\) ;
  
• si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est \(0{,}95\) ;
• si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est \(0{,}2\).
  

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant dans le temps.

1. On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. On définit les événements suivants :
\(\text{R}_1\) : « le client rapporte la bouteille de son panier de la première semaine »
\(\text{R}_2\) : « le client rapporte la bouteille de son panier de la deuxième semaine »

    a. Construire un arbre pondéré de probabilités qui fera intervenir les événements \(\text{R}_1\) et \(\text{R}_2\).
    b. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
    c. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à \(0{,}875\).
    d. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à \(10^{−3}\).

2. On choisit au hasard un client dans la clientèle de l’agriculteur.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(\text{R}_n\) l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la \(n\)-ième semaine ».
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(r_n\) la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la \(n\)-ième semaine. On a alors \(r_n = p (\text{R}_n)\).
    a. Donner la signification de \(\text{R}_4\) et de \(p_4\).
    b. Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue).

    c. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(r_{n+1} = 0{,}75r_n +0{,}2\).
    d. Calculer \(r_4\).